2021考研数学：求极限的方法汇总

1、极 限分为一般极 限，还有个数列极 限

(区别在于数列极 限是发散的，是一般极 限的一种)。

2、解决极 限的方法如下

1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极 限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极 限时候先要转化成求x趋近情况下的极 限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极 限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为三种情况

1)0比0无穷比无穷时候直接用

2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)

3、泰勒公式

(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。

5、无穷小与有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理

(主要对付的是数列极 限)这个主要是看见极 限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用

(对付数列极 限)(q绝对值符号要小于1)

8、各项的拆分相加

(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极 限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右求极 限的方式

(对付数列极 限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极 限存在的情况下，Xn的极 限与Xn+1的极 限是一样的，应为极 限去掉有限项目极 限值不变化。

10、两个重要极 限的应用

这两个很重要!对第一个而言是x趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极 限)

11、还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的。x的x次方快于x!,快于指数函数,快于幂数函数,快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)。当x趋近无穷的时候他们的比值的极 限一眼就能看出来了

12、换元法

是一种技巧，不会对某一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极 限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性。

16、直接使用求导数的定义来求极 限