2023考研高等数学重要基础知识点：如何学习微分中值定理

微分中值定理是导数应用的理论基础，它是函数和导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，建立了函数在一个区间上的增量与函数在区间内某点处导数之间的关系，因此微分中值定理具有重要的理论意义和应用价值，但是在课堂教学中，对定理的证明感觉无从下手，很有难度。为了帮助学生尽快掌握定理，在上课时可以根据学生实际情况进行教学改革。

一、引入实例，提供定理的生活原型

授课时可以先引入一个学生们熟悉的案例，例如温度T随着时间t的变化而变化，显然温度是因变量，时间是自变量，我们要研究温度的变化趋势和变化特征，该变化有两个规律，1.温度随着时间连续缓慢的变化;2.从不是最高温度的时刻起，一昼夜的温度先升高，升到最高温度而下降，降到最低温度再升高。

通过这个例子让学生感受数学也是源于生活，数学中的很多定理和实际生活也是紧密相关。这样可以消除学生一些学生对高数的恐惧心理，增加学生学习高数的信心。

二、画出曲线，提供定理的直观认识

例如理解费马(Fermat)引理，设y为温度，x表示时间，则y关于x的变化关系可以用一条光滑曲线表示，不妨取大约一昼夜时间段内的一段曲线。首先让学生从曲线的变化趋势和切线方向去观察该曲线，考察在整体变化过程中，是否存在一些特殊点，显然，存在最高最低2个点，而且通过这两点的切线都有一个特点，就是切线水平的，然后让学生用语言描述该几何现象在特殊点处有哪些局部特性。从而可以得出，f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在x0处可导，f(x0)为该邻域最大值或最小值即f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)。过该点的切线是水平的故f^(x0)=0.这样，把所得的基本信息整合就可以得到费马引理。