2019张家口事业单位备考：快速解决同素不均分配问题——隔板模型问题

数量关系排列组合的题目有一种常见题型，本质是同素不均分配，前提条件是每个对象至少分一个，求这种分法的总方法数，这就叫做隔板模型。

将n个相同元素分给m个不同对象，要求每个对象必须至少分1个元素，求不同分法总共有多少种。这类问题采用“隔板法”解决，不同分法的方法数共有种。这类题型称为“隔板模型”，这也是隔板模型的标准模型。

解答这类题目只需要抓住题型特征的核心本质，将所求题目不同问法转化为隔板模型的标准模型即可解决。

根据隔板模型的定义，这类问题模型的适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：

(1)所要分堆元素必须完全相同;

(2)所要分堆元素必须分完，决不允许有剩余;

(3)每个不同对象至少分到1个元素，决不允许出现分不到元素的对象。

从这三个条件可以得到其本质核心：元素相同，形成的空不同，从不同数的空中选出几个空。

根据以上内容，接下来一些例题来给大家说明解决隔板模型问题的几类方法。

例1、有10颗完全相同的糖果，分给7个小朋友，每个小朋友至少分一颗，有多少种不同分配方案?( )

A.36 B.64 C.84 D.210

【中公答案】C。

【中公解析】如果直接去思考这道题目相对比较麻烦，因为每个小朋友分得的糖果情况比较复杂，所以把题目转化成隔板模型的标准模型来思考，相当于把10个相同元素分给7不同对象，每个对象至少分一个元素，此时将6个隔板插入到10个元素形成的9个间隙中，把所有元素分成了7堆。根据排列组合的基本知识可知，相当于是从9个元素中任意选择6个进行组合，总的方法数是种。故选C。

上面这道例题是隔板模型中标准的模型题目，只要满足三个前提条件，直接套用公式即可解决题目问题。然而隔板模型在考试中经常会将第3个条件进行一些变化，比如下面这两道例题。

例2、把20本相同的书籍分给8个班级，每个班级至少分2本，问共有多少种不同的分法?( )

A.165 B.330 C.792 D.1485

【中公答案】B。

【中公解析】这道题目如果是每个班级至少分1本书籍，则可以直接套用标准公式解答。但是题目的变化在于，要求每个班级至少分2本书籍，此时采用“提前分配”的方法，给每个班级先提前分1本书籍，从20本相同书籍中拿出8本给每个班级各分一本，剩下12本书籍，继续给每个班级至少分1本就可以满足题目要求，此时将题目转化成了标准模型，总的方法数应为种，故选B。

总结：这类题型主要先给需要多分的对象提前分配一部分元素达到满足隔板模型的标准模型，来解决至少分几个元素情况的问题。

例3、将7朵相同的鲜花，分给3位美女，任意分，分完即可，问有多少种分法?( )

A.2187 B.343 C.72 D.36

【中公答案】D。

【中公解析】这道题目是隔板模型中的任意分问题，可以理解为每个小朋友至少分0个，此时是不符合隔板模型的标准模型的。为了更简单的解决这个问题，采用“先借后还”原理可将该题转化为标准模型。要求给每位美女至少分0个，即有人有可能没有分到鲜花，那么可以先从每位美女那里借走一朵鲜花，此时总共有10朵鲜花，再给每位美女按照每人至少分1朵鲜花进行求解，这时就将题目转化成了标准模型，其不同分法共有种。故选D。

隔板模型在考试中属于简单题型，掌握隔板模型的标准模型公式，牢记其核心本质，灵活转化第3个前提条件，将变形题目转化成标准模型进行求解，隔板模型就是简单的排列组合问题。