行测数量关系考点:方阵问题知识

三、方阵问题考点精讲

(一)实心方阵

(1)方阵总人数=方阵最外层每边人数的平方

(2)方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4

(3)方阵每层每边人数=(方阵每层总人数+4)÷4

(4)奇数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数-1

偶数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数

例题1：在一次阅兵式上，某军排成了30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人中公.教育版权?

A.900 B.224 C.300 D.216

【答案详解】根据题意可知，阅兵方阵为实心方阵。

最外层每边30人，则最外层总人数为30×4-4=116人;

根据相邻两层相差为8人可知，次外层总人数为116-8=108人;

最外两层共有116+108=224人。

提示：(1)在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1;

(2)在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。

(二)空心方阵

根据“相邻两层的人数相差为 8”，即以方阵最外层人数为首项，依次向里，组成一个公差为-8 的等差数列，利用等差数列求和公式可得：

方阵总人数=层数×最外层总人数-(层数-1)×层数÷2×8=层数×最外层总人数-(层数-1)×层数×4

方阵总人数=层数×最内层总人数+(层数-1)×层数÷2×8=层数×最内层总人数+(层数-1)×层数×4

公式不需要直接记忆，只要记住每一层的人数能够组成一个公差为-8的等差数列就可以了。

例题2：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是：

A.156人 B.210人 C.220人 D.280人

【答案详解】方法一，根据“相邻两层人数相差为8”，结合“外层人数共有60人，中间一层共44人”，可知这个方阵从外到内每层人数依次是60、52、44、36、28，所以该方阵士兵的总人数是60+52+44+36+28=220人。

方法二，最外层到中间一层相差(60-44)÷8=2层，即中间一层是第3层，一共有5层，则总人数是5×44=220人。

(三)方阵人数增减

例题3：体育课学生排成一个方阵，最外层的人数为60人，如要在方阵最外层增加一层，则增加后最外层每边有多少人?

A.15 B.16 C.18 D.20

【答案详解】增加前最外层人数为60人，则最外边每边人数为(60+4)÷4=16，增加一层后最外层每边人数为16+2=18人。

(四)方阵重排

例题4：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8。如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

A.200 B.236 C.260 D.288

【答案详解】空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。

丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。这两层的人数即实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为(128+8)÷2=68人，则丙方阵最外层每边人数为(68+4)÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。

(五)方阵问题与其他问题相结合

例题5：某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右1，2，1，2，1，2，1，2报数，再各列从前到后1，2，3，1，2，3报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有：

A.18个 B.24个 C.32个 D.36个

【答案详解】此题可画出直观图进行解答。当从左至右报1时，从前至后报2的有8人，报3的也有8人;当从左至右报2时，同理可得，从前至后报1的有8人，报3的也有8人，即所报数字不同的战士有32人。故选C。

四、核心要点

1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)

2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1

3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2

4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

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